Abstract:
RESUMEN: El presente trabajo trata sobre la formulación y eficiencia del Método del Gadiente Conjugado como algoritmo de solución iterativo, el cual pertenece a un grupo de métodos avanzados que están basados en los subespacios de Krylov y que han sido implementados en las últimas décadas, logrando contribuir en el cumplimiento de uno de los objetivos primordiales planteados dentro de la simulación numérica de yacimientos a lo largo del tiempo: la reducción en los tiempos requeridos para la simulación de modelos dinámicos. Se delimitó el trabajo al estudio de la ecuación de difusividad de la presión para flujo de fluidos ligeramente compresibles en medios porosos homogéneos e isotrópicos, donde se tiene la presencia de flujo monofásico, por lo que se trabaja únicamente con sistemas lineales de la forma 𝐴𝑥⃗=𝑏, donde 𝐴 es una matriz grande, dispersa, simétrica y definida positiva. En el primer capítulo se aborda una introducción matemática a los sistemas lineales, así como un análisis de su presencia en la simulación de yacimientos. En el segundo capítulo se presenta el método del gradiente conjugado, desarrollando su formulación a partir de los métodos del descenso más pronunciado y direcciones conjugadas, y finalmente se presenta su algoritmo de solución para matrices simétricas. En el tercer capítulo se aborda el precondicionamiento matricial y su utilidad en la implementación de los algoritmos de solución, además se presentan dos precondicionadores fundamentales: diagonal y SSOR. En el cuarto capítulo, utilizando el software MATLAB, se presentan los resultados de la implementación computacional del método del gradiente conjugado, así como de algunos métodos iterativos fundamentales (Jacobi, Gauss-Seidel y SOR), realizando una comparativa en la eficiencia de cada método a partir de la velocidad de convergencia en función del número de iteraciones y el costo de tiempo de cálculo a nivel computacional.
ABSTRACT: The present work is about the formulation and efficiency of the Conjugate Gadiente Method as an iterative solution algorithm, which belongs to a group of advanced methods that are based on the Krylov subspaces and that have been implemented in recent decades, contributing to the fulfillment of one of the primary objectives set out in the numerical simulation of deposits over time: the reduction in the times required for the simulation of a dynamic model. The work was delimited to the study of the pressure diffusivity equation for the flow of slightly compressible fluids in homogeneous and isotropic porous media, where there is the presence of single-phase flow, so it works only with linear systems of the form 𝐴𝑥⃗=𝑏, where 𝐴 is a large, sparse, symmetric and positively defined matrix. The first chapter deals with a mathematical introduction to linear systems, as well as an analysis of their presence in reservoir simulation. In the second chapter the method of the conjugate gradient is presented, developing its formulation from the steepest descent method and conjugate directions, and finally, it’s solution algorithm for symmetric matrices is presented. The third chapter deals with matrix preconditioning and its usefulness in the implementation of the solution algorithms, in addition, two fundamental preconditioners are presented: diagonal and SSOR. In the fourth chapter, using MATLAB software, the results of the computational implementation of the conjugate gradient method are presented, as well as some fundamental iterative methods (Jacobi, Gauss-Seidel and SOR), comparing the efficiency of each method from the speed of convergence depending on the number of iterations and the cost of computational time at the computational level.
Description:
Tesis (Ingeniería Geológica), Instituto Politécnico Nacional, ESIA, Unidad Ticomán, 2020, 1 archivo PDF, (73 páginas). tesis.ipn.mx